Opstand tegen π

Een historische vergissing, die wiskundige formules onnodig ingewikkeld maakt en begrippen als de cosinus en de radiaal aan het zicht onttrekt. Opnieuw hebben enkele wiskundigen de aanval geopend op de cirkelconstante π, het bekendste getal uit de wiskunde. Hun eis: vervang π door het getal tau (τ), volgens de omzetting τ ↔ 2π.

Toen Sander Niemeijer in 1993 begon aan zijn studie wiskunde in Delft, zag hij ze ineens overal: de factoren van 2π die alsmaar in wiskundige formules opdoken. Het zette hem aan het denken. Was er soms iets bijzonders aan de hand met 2π? Met wat simpel redeneren kwam hij al snel tot een verrassende conclusie: misschien was 2π (6,28 en zo verder tot in het oneindige) wel een veel betere keuze voor de cirkelconstante dan π (3,14 en zo verder).

Niemeijer deelde die conclusie met wat jaargenoten, die al snel beseften dat hij best eens gelijk zou kunnen hebben. Met 2π als constante zouden de formules versimpelen. Het was zó duidelijk, dat Niemeijer met het idee speelde een website te maken om het woord over deze nieuwe cirkelconstante aan de man te brengen. De naam had hij zelfs al bedacht: π 2 2π (‘π to 2π’, π naar 2π). Die bekeringsdrang trok uiteindelijk weer weg, maar in zijn hoofd bleef hij met de cirkelconstante bezig.

‘Iedereen loopt weg met π. Sommige mensen leren zelfs allemaal decimalen uit hun hoofd, zonder dat ze door hebben dat het getal zelf eigenlijk niet de juiste keus was. Dat knaagde toch een beetje’, bekent Niemeijer. Dat geknaag zorgde ervoor dat hij tot zijn afstuderen in 2000 nog regelmatig tegen studiegenoten over die ándere cirkelconstante begon.

Het was daarom geen verrassing dat een van die oud-studiegenoten hem direct mailde, toen onlangs The Tau Manifesto van fysicus Michael Hartl verscheen. Het manifest propageert namelijk ruwweg hetzelfde idee als Niemeijer al die jaren geleden: dat de keuze van π als cirkelconstante een historische misser is. Niemeijer stond dus niet alleen in zijn wantrouwen jegens π.

Dat de geschiedenis ons opzadelde met π in plaats van 2π, is overigens niet vreemd. ‘Die keuze was ooit heel logisch’, vertelt Niemeijer. Ruim 200 v.Chr. was het Archimedes die de cirkelconstante als eerste definieerde, als de verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel. Niet vreemd als je bedenkt dat de Oude Grieken daarvoor vooral bezig waren met vierkanten, waarvan de oppervlakte de zijde maal de zijde is. ‘De oppervlakte van een cirkel uitdrukken in een constante maal de diameter was daarom een voor de hand liggende keus.’

Met die definitie gaf Archimedes het startschot voor een generaties lange fascinatie met het toen nog symboolloze getal π, al werd de cirkelconstante pas echt populair toen de beroemde wiskundige Leonard Euler (1707 – 1783) het in 1706 ingevoerde symbool π in zijn leerboeken ging gebruiken.

Manifest

Toch had het weinig gescheeld of niet π, maar 2π was ingeburgerd geraakt als cirkelconstante. De Islamitische wiskundige al-Kashi (1380 – 1492) gebruikte als basis voor zijn gereken namelijk wél de verhouding tussen omtrek en straal van de cirkel. Oftewel: 2π. ‘Hij benaderde dat getal in 16 decimalen’, vertelt Jan Hogendijk, expert op het gebied van de geschiedenis van de wiskunde en verbonden aan de Universiteit Utrecht. ‘Zolang je geen symbolen gebruikt, maakt het natuurlijk ook weinig uit wat je kiest, omdat het ene gemakkelijk uit het andere volgt.’

Desondanks was het π die uiteindelijk in de geschiedenisboeken bijgeschreven mocht worden als dé cirkelconstante. Een foute keus, maar wel een die te voorkomen was geweest, meent Niemeijer. Hij legt uit hoe op een gegeven moment de ‘eenheidscirkel’ steeds populairder werd, een beschrijving van de cirkel op een assenstelsel, met het nulpunt in het midden. ‘Daardoor werd de straal belangrijk. Toen hadden we beter ook meteen de cirkelconstante aan de hand van die straal kunnen definiëren’, meent hij. Die keuze had de vele onnodige factoren 2 kunnen voorkomen en had het leren van π overzichtelijker gemaakt. Want wie als nieuwkomer moet snappen dat een kwart van een cirkel gelijk staat aan een hoek van ½ π, en niet gewoon ¼ π, moet een extra denkstap maken.

Ondanks dergelijke argumenten hebben π-critici het niet makkelijk als ze de strijd met π, een icoon van de moderne wiskunde, willen aangaan. ‘π is zo ingeburgerd’, vertelt Niemeijer. ‘Je zou alle boeken moeten herschrijven om dat te veranderen. Dat leek mij niet te doen.’ Het is een belangrijke reden waarom zijn website π 2 2π uiteindelijk niet het levenslicht zag.

Taarten

En geef hem eens ongelijk. De liefde voor π gaat tegenwoordig zelfs zo ver dat op ‘internationale pi-dag’ (op 14 maart, ofwel 3/14 volgens de Amerikaanse notatie) vele mensen overheerlijke taarten bakken en consumeren. Pi klinkt in het Engels namelijk als pie (taart). En het wordt nog erger, want de bekendheid van π reikt tegenwoordig zelfs tot buiten ons eigen zonnestelsel. Om aan eventuele buitenaardse samenlevingen te bewijzen dat wij heus wel wat begrepen hebben van de wereld om ons heen, stralen wij namelijk de decimalen van π de ruimte in.

‘Daarover maak ik mij zorgen’, grapt de Amerikaanse wiskundige en π-bestrijder Bob Palais in zijn spraakmakende opiniestuk π is wrong! (π is verkeerd) dat in 2001 verscheen in het tijdschrift The Mathematical Intelligencer. ‘Ik vraag me af wat de levensvormen die dat ontvangen zullen doen, nadat ze klaar zijn ons uit te lachen.’

Palais zwengelde met zijn artikel de internationale discussie rond π aan. De toon van het verhaal was grappend en enigszins plagerig, maar de onderliggende kritiek was wel degelijk inhoudelijk. Het relaas diende uiteindelijk als belangrijkste inspiratiebron voor Hartls τ-manifest uit 2010, waarin hij voorstelt om ‘2π’ een nieuw symbool te geven: τ. Inmiddels begint The Tau Manifesto op internet een flinke hype te worden. ‘Als de consensus groeit en τ gebruikt gaat worden voor 6,28…, dan vind ik dat alleen maar goed’, vertelt Palais desgevraagd over het succes van The Tau Manifesto.

Toch is niet iedereen overtuigd van de kracht van τ als cirkelconstante. Zo denkt wiskundige Frits Beukers van de Universiteit Utrecht, die onder andere voor scholieren het boek De geschiedenis en wiskunde van het getal pi schreef, dat invoering van een nieuwe constante onhandig is. ‘Niet doen’, laat hij desgevraagd weten en voegt daaraan toe: ‘Het is volgens mij een teken van deze tijd dat men zich nu, na eeuwen gebruik, druk maakt om dit soort onnozele dingen. Waarschijnlijk draagt de laagdrempeligheid van internet hieraan bij.’ Ook Jan Hogendijk ziet niets in de invoering van τ. ‘De ene cirkelconstante is volgens mij niet beter dan de andere. Wat mij betreft doet het vechten tegen π aan als een gevecht van Don Quichotte tegen de windmolens.’

Verrassend genoeg is Niemeijer het met die kritiek eens. In zijn werk bij S[&]T in Delft, een bedrijf dat software ontwerpt voor de Europese ruimtevaartorganisatie ESA, gebruikt hij in zijn berekeningen daarom ook nooit τ. ‘Wiskunde is toch vooral een kwestie van gewenning en het herkennen van patronen. Als je dan τ in plaats van 2π ziet staan, kost dat weer een extra denkstap.’ Bovendien meent hij dat het in de praktijk weinig uitmaakt of je nu π of 2π gebruikt. Het wordt volgens hem pas interessant als je de diepere symmetrie in de wiskunde belangrijk vindt. ‘Het is iets leuks voor mensen die zoeken naar de essentie en zo inzien dat π historisch gezien niet de beste keus was.’

Zelfs Hartls inspirator Palais is niet helemaal overtuigd van τ. Hij vraagt zich hardop af of de keuze voor het symbool wel zo handig was. ‘τ wordt al gebruikt als tijdparameter, voor de torsie, en voor nog een paar andere dingen. Dat kan conflicten opleveren.’

Het is daarom dus nog even afwachten of we ooit met zijn allen tau-dag gaan vieren in plaats van de reeds ingeburgerde pi-dag. Sterker nog: als je het aan de échte fundamentalist vraagt, kunnen we ze beter beide overslaan. ‘3,14 en 6,28 zijn ook maar een afkapping’, zegt Niemeijer. ‘De essentie is nu juist dat deze getallen oneindig doorgaan.’

Dit verhaal is eerder verschenen in NWT Magazine